20. 1. 2009, Pangrác

1. Co je to ekvivalence, třída ekvivalence, věta o třídách ekvivalence.

2. Zformuluj a dokaž větu o skóre.

3. Spočítat počet koster grafu vzniklého z $K_4$ dělením každé jeho hrany.

Pangrác je při zkoušení klaďas. :-) Takový člověk by se určitě nepodílel na stavbě Hvězdy smrti.

souhlasím s předchozím komentářem, Pangrác je naprosto v pohodě.
udělal jsem dvě menší chyby, známka by byla 2, dostal jsem ale dodatečný příklad (d) a odcházel s jedničkou. dá se předpokládat, že se takhle chová i k těm, kteří úplně nezvládají...

(1) definujte pojem střední hodnoty náhodné veličiny a zformulujte tvrzení o její linearitě

(2) zformulujte binomickou větu a dokažte ji

(3) určete počet koster grafu (a pod to mi nakreslil graf sestávající ze čtyř kružnic C4 spojených čtyřmi hranami (vypadalo to jako čtverec, který měl v každém rohu další čtverec))

(d) rozhodněte a zdůvodněte, zda může existovat graf na n vrcholech, jehož skóre tvoří n různých čísel.

1. Co je to ekvivalence, třída ekvivalence, věta o třídách ekvivalence.

2. Formuluj a dokaž alespoň 3 charakterizace stromu.

3. Je posloupnost složená z n trojek a n čtyřek skore nějakého grafu?
   U 3 jsem věděl akorát, že n musí být sudé, ale víc jsem s tim nepohnul, takže jsem dostal doplňující otázku:
   (d) Spočítat počet koster grafu vzniklého z K4 dělením každé jeho hrany.

Jinak, že je Pangrác klaďas, nikdo nemůže popřít :-)

Nevíte prosím někdo, jak se počítá počet koster nějakého grafu, který je tvořen dvěma "podgrafy" spojenými nejen jedním vrcholem ale třeba i několika hranami..? Počet koster grafů spojených jedním bodem se spočítá jako součin počtu koster obou grafů... Např. čtverec spojený jedním vrcholem s trojúhelníkem se spočítá jako 4*3 = 12 koster...

Jak je to ale například právě s grafem, vzniklým z K4 dělením hran..?

Děkuji mnohokrát za pomoc.

K4 wrote:Nevíte prosím někdo, jak se počítá počet koster nějakého grafu, který je tvořen dvěma "podgrafy" spojenými nejen jedním vrcholem ale třeba i několika hranami..? Počet koster grafů spojených jedním bodem se spočítá jako součin počtu koster obou grafů... Např. čtverec spojený jedním vrcholem s trojúhelníkem se spočítá jako 4*3 = 12 koster...

Jak je to ale například právě s grafem, vzniklým z K4 dělením hran..?

Obecně se asi nic moc vymyslet nedá.

U té K4 si šlo všimnout toho, že jde spočítat pošet koster K4 bez dělení $(n^{n-2}=4^2=16)$ a pak pro každou z nich domyslet, jak kostru „dokreslit“, aby fungovala i na děleném grafu. Víme, že každá kostra grafu nad čtyřmi vrcholy má tři hrany, takže každá z 16 nalezených koster tři hrany má a tři ne. Tam, kde jsou, musíme vést obě hrany dělení, tam, kde nejsou, máme vždy dvě možnosti, jestli vést hranu k vydělenému vrcholu — to je při třech nejsoucích hranách $2^3=8$ možností.

Správný výsledek tedy byl 16×8=128. :-)